# 一。机器数和真值
在学习原码，反码和补码之前，需要先了解机器数和真值的概念.
# 1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为 0, 负数为 1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为 8 位，转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
# 2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位 1 代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值 131（10000011 转换成十进制等于 131）。
所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1
# 二。原码，反码，补码的基础概念和计算方法.
在探求为何机器要使用补码之前，让我们先了解原码，反码和补码的概念。对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储。原码，反码，补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
# 1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如如果是 8 位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位。因为第一位是符号位，所以 8 位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]==>[-127 , 127]
# 2. 反码
反码的表示方法是:
- 正数的反码是其本身
- 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
# 3. 补码
补码的表示方法是:
- 正数的补码就是其本身
- 负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后 + 1. (即在反码的基础上 + 1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
# 三。为何要使用原码，反码和补码
计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补
所以不需要过多解释。但是对于负数:
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补
可见原码，反码和补码是完全不同的。为何还会有反码和补码呢？
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头).
但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单。计算机辨别 "符号位" 显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！于是人们想出了将符号位也参与运算的方法.
根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
为了解决原码做减法的问题，出现了反码:
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0001] 反 + [1111 1110] 反 = [1111 1111] 反 = [1000 0000] 原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在 "0" 这个特殊的数值上。虽然人们理解上 + 0 和 - 0 是一样的，但是 0 带符号是没有任何意义的。而且会有 [0000 0000] 原和 [1000 0000] 原两个编码表示 0.
于是补码的出现，解决了 0 的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0001] 补 + [1111 1111] 补 = [0000 0000] 补 =[0000 0000] 原
这样 0 用 [0000 0000] 表示，而以前出现问题的 - 0 则不存在了。而且可以用 [1000 0000] 表示 - 128:
(-1) + (-127) = [1000 0001] 原 + [1111 1111] 原 = [1111 1111] 补 + [1000 0001] 补 = [1000 0000] 补
-1-127 的结果应该是 - 128, 在用补码运算的结果中，[1000 0000] 补 就是 - 128. 但是注意因为实际上是使用以前的 - 0 的补码来表示 - 128, 所以 - 128 并没有原码和反码表示.(对 - 128 的补码表示 [1000 0000] 补算出来的原码是 [0000 0000] 原，这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么 8 位二进制，使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127], 而使用补码表示的范围为 [-128, 127].
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型，可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位。而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
# 四 原码，反码，补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢？
将钟表想象成是一个 1 位的 12 进制数。如果当前时间是 6 点，我希望将时间设置成 4 点，需要怎么做呢？我们可以:
- 往回拨 2 个小时: 6 - 2 = 4
- 往前拨 10 个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
- 往前拨 10+12=22 个小时: (6+22) mod 12 =4
2,3 方法中的 mod 是指取模操作，16 mod 12 =4 即用 16 除以 12 后的余数是 4.
所以钟表往回拨 (减法) 的结果可以用往前拨 (加法) 替代！
现在的焦点就落在了如何用一个正数，来替代一个负数。上面的例子我们能感觉出来一些端倪，发现一些规律。但是数学是严谨的。不能靠感觉.
首先介绍一个数学中相关的概念：同余
# 同余的概念
两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以 4, 16, 28 关于模 12 同余.
# 负数取模
正数进行 mod 运算是很简单的。但是负数呢？
下面是关于 mod 运算的数学定义:
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上面是截图，"取下界" 符号找不到如何输入 (word 中粘贴过来后乱码). 下面是使用 "L" 和 "J" 替换上图的 "取下界" 符号:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y 等于 x 减去 y 乘上 x 与 y 的商的下界.
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
# 开始证明
再回到时钟的问题上:
回拨 2 小时 = 前拨 10 小时
回拨 4 小时 = 前拨 8 小时
回拨 5 小时 = 前拨 7 小时
注意，这里发现的规律！
结合上面学到的同余的概念。实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2 与 10 是同余的.
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4 与 8 是同余的.
距离成功越来越近了。要实现用正数替代负数，只需要运用同余数的两个定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:
如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明，请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数，找到了它的正数同余数。但是并不是 7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上，看一下: 2-1=1 的问题.
2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0010] 反 + [1111 1110] 反
先到这一步，-1 的反码表示是 1111 1110. 如果这里将 [1111 1110] 认为是原码，则 [1111 1110] 原 = -126, 这里将符号位除去，即认为是 126.
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126 的余数结果是相同的！而这个余数，正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个膜的同余数。而这个膜并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值！这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值！
而 2+126 很显然相当于钟表转过了一轮，而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
既然反码可以将减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢？为什么在反码的基础上加 1, 还能得到正确的结果？
2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0010] 补 + [1111 1111] 补
如果把 [1111 1111] 当成原码，去除符号位，则:
[0111 1111] 原 = 127
其实，在反码的基础上 + 1, 只是相当于增加了膜的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时，表盘相当于每 128 个刻度转一轮。所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是 [-128, 128].
但是由于 0 的特殊情况，没有办法表示 128, 所以补码的取值范围是 [-128, 127]
大多数人都以为是才智成就了科学家，他们错了，是品格。--- 爱因斯坦
